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TRIGONOMETRÍA DEL ESPACIO

Durante la historia se ha pensado el hecho de que la física es la única que aborda los temas astronómicos, y la pensamos sin la matemática por tal motivo este espacio nos enseñará que también debe fundamentarse en ella, por lo tanto se ilustrará las razones trigonométricas ya que estás nos ayudan al momento de dar a entender todo lo relacionado con el movimiento planetario.

 

 

Ángulo: Porción de plano comprendida entre dos rectas que se cruzan.

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Medida de ángulos:

  • Grados sexagesimales (DEG) 1º=60'=3600'' La circunferencia está dividida en 360º

  • Radianes (RAD) 360º=2·pi radianes.

Razones trigonométricas:. Dada una circunferencia de radio r, si tomamos un arco AP, donde A es un punto del semieje positivo de las x y P(x,y), el punto del extremo, se definen las razones trigonométricas del ángulo en la forma:

 

  • Seno sen a = ordenada / radio = y / r

  • Coseno cos a = abscisa / radio = x / r

  • Tangente tg a = seno / coseno = ordenada / abscisa = y / x

  • Cotangente cotg a = coseno / seno = abscisa / ordenada = x / y

  • Secante sec a = 1 / coseno = 1 / (x / r) = r / x

  • Cosecante cosec a = 1 / seno = 1 / (y / r) = r / y

Signo de las razones: En cada cuadrante, dependiendo del signo de las abscisas y ordenadas, las razones presentan los siguientes signos:

Ángulos notables: 30º Para determinar sus razones tenemos en cuenta que se forma un triángulo equilátero:

  • sen 30º = y/r= (r/2) / r = 1/2

  • cos 30º = x/r= 3½ / 2 r2=x2+(r/2)2=x2+r2/4 x=(3r2/4)½=r3½/2

  • tg 30 º=(1/2)/(3½/2)= 3½ / 3

60º Formamos el triángulo equilátero de la figura:

  • sen 60º= y/r= (r 3½ / 2)/r= 3½ / 2 r2 = y2 + ( r/2)2 y = ( r2-r2/4)½ = ( 3 r2 / 4 )½ = r 3½ / 2

  • cos 60º= (r/2)/r = 1 / 2

  • tg 60º = (3½ / 2)/(1/2) = 3½

45º La x y la y son iguales, por lo que se forma un triángulo isósceles:

  • sen 45º = y/r = 2½ / 2 r2 = x2 + y2 = 2 y2 y=(r2/2)½=r(2½)/2

  • cos 45º= x/r = y = 2½ / 2

  • tg 45º = sen 45º / cos 45º = 1

 

Relaciones entre las razones trigonométricas:

1.  Teorema fundamental.

  • sen a = y / r de donde y = r sen a

  • cos a = x / r de donde x = r cos a

como según Pitágoras: x2+y2=r2 tenemos que r2cos2a + r2sen2a=r2 es decir:

cos2a + sen2a = 1

 

2.  Dividiendo el teorema fundamental entre

sen2: 1 + cos2a / sen2a = 1/ sen2a 1 + cotg2a = cosec2a

 

3.  Dividiendo el teorema fundamental entre cos2: tg2a+1= 1 / cos2a 1 + tg2a = sec2a

TEOREMAS DE ADICIÓN

1.- ADICIÓN DE ÁNGULOS. Suponemos circunferencia goniométrica (R=1)

a) Coseno de la suma. cos(a+b)=OC/OB=OC=OD-CD=OD-BE=OAcosa-ABsena= =OBcosbcosa-OBsenbsena=cosacosb-senasenb

b) Coseno de la diferencia. En la expresión del coseno de la suma sustituímos b por -b cos(a-b)=cos[a+(-b)]=cosacos(-b)-senasen(-b)=cosacosb-sena(-senb)=cosacosb+senasenb

c) Seno de la suma. sen(a+b)=-cos[a+(b+90)]=-[cosacos(b+90)-senasen(b+90)]=-[cosa(-senb)-senacosb]= =senacosb+cosasenb

d) Seno de la diferencia. sen(a-b)=senacos(-b)+cosasen(-b)=senacosb-cosasenb

e) Tangente de la suma. tg(a+b)=sen(a+b)/cos(a+b)=(senacosb+cosasenb)/(cosacosb-senasenb)=(tga+tgb)/(1-tgatgb)

f) Tangente de la diferencia. tg(a-b)=sen(a-b)/cos(a-b)=(senacosb-cosasenb)/(cosacosb+senasenb)=(tga-tgb)/(1+tgatgb)

g) Coseno del ángulo doble.

Hacemos b=a en la expresión del coseno de la suma cos(a+b)=cosacosb-senasenb=cos2a-sen2a Es decir: cos(2a)=cos2a-sen2a

h) Seno del ángulo doble. Hacemos b=a en la expresión del coseno de la suma sen(a+b)=senacosb+cosasenb=senacosa+cosasena=2senacosa Luego: sen(2a)=2senacosa

i) Tangente del ángulo doble. tg(a+b)=(tga+tga)/(1-tgatga)=2tga/(1-tg2a)

j) y k) Coseno y seno del ángulo mitad. cos(2a)=cos2a-sen2a Si hacemos a=a/2 tenemos: cosa=cos2(a/2)-sen2(a/2) y como según Pitágoras: 1=cos2(a/2)+sen2(a/2) sumando ambas expresiones: 1+cosa=2cos2(a/2) de donde: cos(a/2)=[(1+cosa)/2]½ restándolas: 1-cosa=2sen2(a/2) de donde: sen(a/2)=[(1-cosa)/2]½

l) Tangente del ángulo mitad. tg(a/2)=sen(a/2)/cos(a/2)=[(1-cosa)/2]½ / [(1+cosa)/2]½=[(1-cosa)/(1+cosa)]½ 2.- ADICIÓN DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS.

m) Suma de cosenos. cos(p+q)=cos p · cos q-sen p·sen q cos(p-q)=cos p·cos q+sen p·sen q Sumando: cos(p+q)+cos(p-q)=2·cos p·cos q Si llamamos: p+q=A y p-q=B tenemos que: p=A-q A-2q=B q=(A-B)/2 p=A-(A-B)/2=(A+B)/2 sustituyendo: cos A + cos B = 2·cos[(A + B) / 2] ·[cos (A-B) / 2]

n) Diferencia de cosenos: cos(p+q)-cos(p-q) = -2·sen p· sen q cos A - cos B = - 2·sen[ (A+B) /2 ]·sen[ (A-B) / 2]

ñ) Suma de senos. sen(p+q)=sen p·cos q+cos p·sen q sen(p-q)=sen p·cos q-cos p·sen q sen(p+q)+sen(p-q)=2·sen p·cos q sen A + sen B = 2·sen[ (A+B) / 2]·cos [(A-B) / 2]

o) Diferencia de senos. sen(p+q)-sen(p-q)=2·cos p·sen q sen A - sen B = 2·cos[(A+B) / 2]·sen[ (A- B) / 2]

ACTIVIDAD

Para evaluar tu conocimiento puedes jugar llendo a menú- juegos o solamente dando click en el siguiente botón

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